Integral de tg((pi/3)-4x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\tan{\left(- 4 x + \frac{\pi}{3} \right)} = - \frac{\sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- \frac{\sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}$.

         Luego que $du = - 4 \sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

         $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)} \right)}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}} = - \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}$.

            Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\sin{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}}{\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)}} = - \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}{\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)}$.

            Luego que $du = 4 \cos{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\cos{\left(4 x - \frac{\pi}{3} \right)} \right)}}{4}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\sin{\left(4 x + \frac{\pi}{6} \right)} \right)}}{4}+ \mathrm{constant}$