Integral de x*ln(2x-1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2}{2 x - 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x^{2}}{2 x - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}$

3. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{1}{4 \left(2 x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{2 x - 1}\, dx}{4}$

      1. que $u = 2 x - 1$.

         Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{1}{2 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

   El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{4} + \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

4. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4} - \frac{\log{\left(2 x - 1 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}$