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Resolución de integrales/ 2*x+5/ (2*x+5)/sqrt(2*x+5)

Integral de (2*x+5)/sqrt(2*x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |    2*x + 5     
 |  ----------- dx
 |    _________   
 |  \/ 2*x + 5    
 |                
/                 
0
∫012x+52x+5 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 5}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx 
Integral((2*x + 5)/sqrt(2*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2x+5u = 2 x + 5.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫u2 du\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u du=∫u du2\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=2u323\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: u323\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}

      Si ahora sustituir uu más en:

      (2x+5)323\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      2x+52x+5=2x2x+5+52x+5\frac{2 x + 5}{\sqrt{2 x + 5}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 5}} + \frac{5}{\sqrt{2 x + 5}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2x2x+5 dx=2∫x2x+5 dx\int \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx

        1. que u=12x+5u = \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}.

          Luego que du=−dx(2x+5)32du = - \frac{dx}{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}} y ponemos dudu:

          ∫(−2(−52+12u2)2+252−52u2) du\int \left(- 2 \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} + \frac{25}{2} - \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2(−52+12u2)2) du=−2∫(−52+12u2)2 du\int \left(- 2 \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\, du

              1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                Método #1

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (−52+12u2)2=254−52u2+14u4\left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{25}{4} - \frac{5}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}

                2. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                    ∫254 du=25u4\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫(−52u2) du=−5∫1u2 du2\int \left(- \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                    Por lo tanto, el resultado es: 52u\frac{5}{2 u}

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                    ∫14u4 du=∫1u4 du4\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                    Por lo tanto, el resultado es: −112u3- \frac{1}{12 u^{3}}

                  El resultado es: 25u4+52u−112u3\frac{25 u}{4} + \frac{5}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}

                Método #2

                1. Vuelva a escribir el integrando:

                  (−52+12u2)2=25u4−10u2+14u4\left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{4 u^{4}}

                2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫25u4−10u2+14u4 du=∫25u4−10u2+1u4 du4\int \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{4}

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                    25u4−10u2+1u4=25−10u2+1u4\frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{u^{4}} = 25 - \frac{10}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}

                  2. Integramos término a término:

                    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                      ∫25 du=25u\int 25\, du = 25 u

                    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                      ∫(−10u2) du=−10∫1u2 du\int \left(- \frac{10}{u^{2}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

                      1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                        ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

                      Por lo tanto, el resultado es: 10u\frac{10}{u}

                    1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                      ∫1u4 du=−13u3\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}

                    El resultado es: 25u+10u−13u325 u + \frac{10}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 25u4+52u−112u3\frac{25 u}{4} + \frac{5}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}

              Por lo tanto, el resultado es: −25u2−5u+16u3- \frac{25 u}{2} - \frac{5}{u} + \frac{1}{6 u^{3}}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫252 du=25u2\int \frac{25}{2}\, du = \frac{25 u}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−52u2) du=−5∫1u2 du2\int \left(- \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

              Por lo tanto, el resultado es: 52u\frac{5}{2 u}

            El resultado es: −52u+16u3- \frac{5}{2 u} + \frac{1}{6 u^{3}}

          Si ahora sustituir uu más en:

          (2x+5)326−52x+52\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{5 \sqrt{2 x + 5}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: (2x+5)323−52x+5\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 5 \sqrt{2 x + 5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫52x+5 dx=5∫12x+5 dx\int \frac{5}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx

        1. que u=2x+5u = 2 x + 5.

          Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

          ∫12u du\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫1u du=2u\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}

            Por lo tanto, el resultado es: u\sqrt{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2x+5\sqrt{2 x + 5}

        Por lo tanto, el resultado es: 52x+55 \sqrt{2 x + 5}

      El resultado es: (2x+5)323\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  2. Ahora simplificar:

    (2x+5)323\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2x+5)323+constant\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2x+5)323+constant\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                               3/2
 |   2*x + 5            (2*x + 5)   
 | ----------- dx = C + ------------
 |   _________               3      
 | \/ 2*x + 5                       
 |                                  
/
∫2x+52x+5 dx=C+(2x+5)323\int \frac{2 x + 5}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx = C + \frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      ___       ___
  5*\/ 5    7*\/ 7 
- ------- + -------
     3         3
−553+773- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{7 \sqrt{7}}{3} 
=
= 
      ___       ___
  5*\/ 5    7*\/ 7 
- ------- + -------
     3         3
−553+773- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{7 \sqrt{7}}{3} 
-5*sqrt(5)/3 + 7*sqrt(7)/3
Respuesta numérica [src] 
2.44663976331773
2.44663976331773

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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