Integral de (2*x+5)/sqrt(2*x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 5$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x + 5}{\sqrt{2 x + 5}} = \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 5}} + \frac{5}{\sqrt{2 x + 5}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 x}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 2 \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} + \frac{25}{2} - \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\right)\, du = - 2 \int \left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{25}{4} - \frac{5}{2 u^{2}} + \frac{1}{4 u^{4}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{25}{4}\, du = \frac{25 u}{4}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{2 u}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{3}}$

                        El resultado es: $\frac{25 u}{4} + \frac{5}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{5}{2} + \frac{1}{2 u^{2}}\right)^{2} = \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{4 u^{4}}$

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{4 u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{u^{4}}\, du}{4}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{25 u^{4} - 10 u^{2} + 1}{u^{4}} = 25 - \frac{10}{u^{2}} + \frac{1}{u^{4}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 25\, du = 25 u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{10}{u^{2}}\right)\, du = - 10 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{10}{u}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           El resultado es: $25 u + \frac{10}{u} - \frac{1}{3 u^{3}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 u}{4} + \frac{5}{2 u} - \frac{1}{12 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{25 u}{2} - \frac{5}{u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{25}{2}\, du = \frac{25 u}{2}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{5}{2 u^{2}}\right)\, du = - \frac{5 \int \frac{1}{u^{2}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{2 u}$

               El resultado es: $- \frac{5}{2 u} + \frac{1}{6 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{6} - \frac{5 \sqrt{2 x + 5}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 5 \sqrt{2 x + 5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx = 5 \int \frac{1}{\sqrt{2 x + 5}}\, dx$

         1. que $u = 2 x + 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{2 \sqrt{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sqrt{2 x + 5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \sqrt{2 x + 5}$

      El resultado es: $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(2 x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$