Integral de (sqrt(1-lnx))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 1 - \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du = - \int \frac{\sqrt{1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}}}{u}\, du$

         1. que $u = 1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \sqrt{u}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 \left(1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(1 - \log{\left(\frac{1}{u} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \left(1 - \log{\left(x \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$