Sr Examen

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Integral de -arccosx+sqrt(1-x^2)+1 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 9/16                               
   /                                
  |                                 
  |  /              ________    \   
  |  |             /      2     |   
  |  \-acos(x) + \/  1 - x   + 1/ dx
  |                                 
 /                                  
 0                                  
$$\int\limits_{0}^{\frac{9}{16}} \left(\left(\sqrt{1 - x^{2}} - \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx$$
Integral(-acos(x) + sqrt(1 - x^2) + 1, (x, 0, 9/16))
Solución detallada
  1. Integramos término a término:

    1. Integramos término a término:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -1) & (x < 1), context=sqrt(1 - x**2), symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        1. Usamos la integración por partes:

          que y que .

          Entonces .

          Para buscar :

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          1. que .

            Luego que y ponemos :

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              1. Integral es when :

              Por lo tanto, el resultado es:

            Si ahora sustituir más en:

          Por lo tanto, el resultado es:

        Por lo tanto, el resultado es:

      El resultado es:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

    El resultado es:

  2. Ahora simplificar:

  3. Añadimos la constante de integración:


Respuesta:

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                                                                                      
 |                                                                                                                       
 | /              ________    \                 ________               //               ________                        \
 | |             /      2     |                /      2                ||              /      2                         |
 | \-acos(x) + \/  1 - x   + 1/ dx = C + x + \/  1 - x   - x*acos(x) + | -1, x < 1)|
/                                                                      \\   2            2                              /
$$\int \left(\left(\sqrt{1 - x^{2}} - \operatorname{acos}{\left(x \right)}\right) + 1\right)\, dx = C - x \operatorname{acos}{\left(x \right)} + x + \sqrt{1 - x^{2}} + \begin{cases} \frac{x \sqrt{1 - x^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}{2} & \text{for}\: x > -1 \wedge x < 1 \end{cases}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                                         ___
  7    asin(9/16)   9*acos(9/16)   205*\/ 7 
- -- + ---------- - ------------ + ---------
  16       2             16           512   
$$- \frac{9 \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{16} \right)}}{16} - \frac{7}{16} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{9}{16} \right)}}{2} + \frac{205 \sqrt{7}}{512}$$
=
=
                                         ___
  7    asin(9/16)   9*acos(9/16)   205*\/ 7 
- -- + ---------- - ------------ + ---------
  16       2             16           512   
$$- \frac{9 \operatorname{acos}{\left(\frac{9}{16} \right)}}{16} - \frac{7}{16} + \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{9}{16} \right)}}{2} + \frac{205 \sqrt{7}}{512}$$
-7/16 + asin(9/16)/2 - 9*acos(9/16)/16 + 205*sqrt(7)/512
Respuesta numérica [src]
0.373005404895276
0.373005404895276

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.