Integral de (x+sqrt(x))/(x*sqrt(x)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u + 2}{u}\, du$

      1. que $u = 2 u$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u + 2}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + 2}{u} = 1 + \frac{2}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u}\, du = 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + 2 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 u + 2 \log{\left(2 u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x} + 2 \log{\left(2 \sqrt{x} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x} x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + \log{\left(x \right)} + 2 \log{\left(2 \right)}+ \mathrm{constant}$