Integral de (x+sqrt(x))/((x*sqrtx)x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u + 2}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{2 u + 2}{u^{3}} = \frac{2}{u^{2}} + \frac{2}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2}{u^{3}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{u^{2}}$

         El resultado es: $- \frac{2}{u} - \frac{1}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x} + x}{x \sqrt{x} x} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $- \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{x} - \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$