Integral de (e^(4x)+3)^2*pi dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \pi \left(e^{4 x} + 3\right)^{2}\, dx = \pi \int \left(e^{4 x} + 3\right)^{2}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = e^{4 x}$.

         Luego que $du = 4 e^{4 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{u^{2} + 6 u + 9}{4 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} + 6 u + 9}{u}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} + 6 u + 9}{u}\, du}{4}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} + 6 u + 9}{u} = u + 6 + \frac{9}{u}$

            2. Integramos término a término:

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 6\, du = 6 u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{9}{u}\, du = 9 \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(u \right)}$

               El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 6 u + 9 \log{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{2}}{8} + \frac{3 u}{2} + \frac{9 \log{\left(u \right)}}{4}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{e^{8 x}}{8} + \frac{3 e^{4 x}}{2} + \frac{9 \log{\left(e^{4 x} \right)}}{4}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{4 x} + 3\right)^{2} = e^{8 x} + 6 e^{4 x} + 9$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 8 x$.

            Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{8 x}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 e^{4 x}\, dx = 6 \int e^{4 x}\, dx$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{4 x}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         El resultado es: $9 x + \frac{e^{8 x}}{8} + \frac{3 e^{4 x}}{2}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\left(e^{4 x} + 3\right)^{2} = e^{8 x} + 6 e^{4 x} + 9$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = 8 x$.

            Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{e^{u}}{8}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{8 x}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 6 e^{4 x}\, dx = 6 \int e^{4 x}\, dx$

            1. que $u = 4 x$.

               Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

               $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{4}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{e^{4 x}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 e^{4 x}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 9\, dx = 9 x$

         El resultado es: $9 x + \frac{e^{8 x}}{8} + \frac{3 e^{4 x}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\pi \left(\frac{e^{8 x}}{8} + \frac{3 e^{4 x}}{2} + \frac{9 \log{\left(e^{4 x} \right)}}{4}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\pi \left(e^{8 x} + 12 e^{4 x} + 18 \log{\left(e^{4 x} \right)}\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\pi \left(e^{8 x} + 12 e^{4 x} + 18 \log{\left(e^{4 x} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\pi \left(e^{8 x} + 12 e^{4 x} + 18 \log{\left(e^{4 x} \right)}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$