Integral de cos(x)*(2*tan(x)+e^x*x/cos(x)+4) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(\left(\frac{e^{x} x}{\cos{\left(x \right)}} + 2 \tan{\left(x \right)}\right) + 4\right) \cos{\left(x \right)} = x e^{x} + 2 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 4 \cos{\left(x \right)}$

2. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral de la función exponencial es la mesma.

      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $- \cos{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \cos{\left(x \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 4 \cos{\left(x \right)}\, dx = 4 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

      1. La integral del coseno es seno:

         $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $4 \sin{\left(x \right)}$

   El resultado es: $x e^{x} - e^{x} + 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x e^{x} - e^{x} + 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x e^{x} - e^{x} + 4 \sin{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$