Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+11/x)^x
-
Límite de (2+x^3-x-2*x^2)/(6+x^3-7*x)
-
Límite de (-3+x^2-2*x)/(-15-4*x+3*x^2)
-
Límite de (sqrt(5+x)-sqrt(10))/(-15+x^2-2*x)
-
Expresiones idénticas
- pi*x/(dos *(x^ tres - tres *x)^(uno / tres))
- número pi multiplicar por x dividir por (2 multiplicar por (x al cubo menos 3 multiplicar por x) en el grado (1 dividir por 3))
- número pi multiplicar por x dividir por (dos multiplicar por (x en el grado tres menos tres multiplicar por x) en el grado (uno dividir por tres))
- pi*x/(2*(x3-3*x)(1/3))
- pi*x/2*x3-3*x1/3
- pi*x/(2*(x³-3*x)^(1/3))
- pi*x/(2*(x en el grado 3-3*x) en el grado (1/3))
- pix/(2(x^3-3x)^(1/3))
- pix/(2(x3-3x)(1/3))
- pix/2x3-3x1/3
- pix/2x^3-3x^1/3
- pi*x dividir por (2*(x^3-3*x)^(1 dividir por 3))
-
Expresiones semejantes
- pi*x/(2*(x^3+3*x)^(1/3))
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- Piecewise((1/2+x/2-x^2,x<0),(1/2,x=0),(1+x^2+x/2,x>0))
- pi*log(x+sqrt(-1+x^2))
- pi/2+atan(6/(1-x))
- Piecewise((1+3*x,x<-2),(sqrt(4-x^2),x<=2),(1/(-2+x),True))
- Piecewise((log(|x|),x<0),(t*(1-x)^2,x<=1),((-1+x)^2,x<3),(1,True))
Límite de la función pi*x/(2*(x^3-3*x)^(1/3))
Solución
Ha introducido
[src]
/ pi*x \
lim |---------------|
x->oo| __________|
| 3 / 3 |
\2*\/ x - 3*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right)$$
Limit((pi*x)/((2*(x^3 - 3*x)^(1/3))), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}}{\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x \left(x^{2} - 3\right)}{2 \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\pi x \left(x^{2} - 3\right)}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\pi x^{4}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{2 \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \pi}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\pi x^{4}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{2 \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \pi}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\pi x}{2}}{\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x \left(x^{2} - 3\right)}{2 \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)} \left(x^{2} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\pi x \left(x^{2} - 3\right)}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x \left(x^{2} - 3\right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\pi x^{4}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{2 \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \pi}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{\pi x^{4}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{x^{4} - 2 x^{2} + 1} + \frac{3 \pi x^{2}}{2 \left(x^{2} - 1\right)} - \frac{3 \pi}{2 \left(x^{2} - 1\right)}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}} - \frac{1}{\left(x^{3} - 3 x\right)^{\frac{2}{3}}}}\right)$$
=
$$\frac{\pi}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = \frac{\pi}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = \frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = - \frac{\left(-2\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{4}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\pi x}{2 \sqrt[3]{x^{3} - 3 x}}\right) = \frac{\left(-1\right)^{\frac{2}{3}} \pi}{2}$$
Más detalles con x→-oo