Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi \left(x + 1\right)!\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \pi \left(x + 1\right)!}{\frac{d}{d x} x^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)