Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de x/asin(x)
-
Límite de ((1+x)^4-(-1+x)^4)/((1+x)^3+(-1+x)^3)
-
Límite de x^2*(tan(3*x)/2-sin(3*x)/2)
-
Límite de (-1+sqrt(x)+sqrt(3+2*x^2))/(3+x)
-
Expresiones idénticas
- pi*x^(- uno -x)*factorial(uno +x)
- número pi multiplicar por x en el grado ( menos 1 menos x) multiplicar por factorial(1 más x)
- número pi multiplicar por x en el grado ( menos uno menos x) multiplicar por factorial(uno más x)
- pi*x(-1-x)*factorial(1+x)
- pi*x-1-x*factorial1+x
- pix^(-1-x)factorial(1+x)
- pix(-1-x)factorial(1+x)
- pix-1-xfactorial1+x
- pix^-1-xfactorial1+x
-
Expresiones semejantes
- pi*x^(-1+x)*factorial(1+x)
- pi*x^(-1-x)*factorial(1-x)
- pi*x^(1-x)*factorial(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Número Pi pi
- Piecewise((0,x<1),(a*x^3,x<=2),(0,True))
- pi/2-cos(x)
- pi*i/(i+e^(pi*x/2))
- pi/2-atan(x)
- pi*log(a+sqrt(-1+a^2))
- factorial
- factorial(1+x)^2/factorial(1+2*x)
- factorial(1+x)/(1+x)
- factorial(2*x)/factorial(2^n)
- factorial(-1+2*x)/x^2
- factorial(1+x)/(-factorial(1+x)+factorial(x))
Límite de la función pi*x^(-1-x)*factorial(1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ -1 - x \ lim \pi*x *(1 + x)!/ x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
Limit((pi*x^(-1 - x))*factorial(1 + x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi \left(x + 1\right)!\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \pi \left(x + 1\right)!}{\frac{d}{d x} x^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi \left(x + 1\right)!\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x + 1} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \pi \left(x + 1\right)!}{\frac{d}{d x} x^{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\pi x^{- x} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{x \left(\log{\left(x \right)} + 1 + \frac{1}{x}\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 2 \pi$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 2 \pi$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = -\infty$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = \infty$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 2 \pi$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 2 \pi$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\pi x^{- x - 1} \left(x + 1\right)!\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo