Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- x+(uno +x)*|x|*sin(uno /x)/x
- x más (1 más x) multiplicar por módulo de x| multiplicar por seno de (1 dividir por x) dividir por x
- x más (uno más x) multiplicar por módulo de x| multiplicar por seno de (uno dividir por x) dividir por x
- x+(1+x)|x|sin(1/x)/x
- x+1+x|x|sin1/x/x
- x+(1+x)*|x|*sin(1 dividir por x) dividir por x
-
Expresiones semejantes
- x-(1+x)*|x|*sin(1/x)/x
- x+(1-x)*|x|*sin(1/x)/x
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(2*x)/sin(3*x)
- sin(5*x)/(2*x)
- sin(3*x)/tan(2*x)
- sin(x)^2/x^2
- sin(a*x)/sin(b*x)
- Módulo |
- |x|/x
- |x|
- |-3+x|/(-3+x)
- |-2+x|/x
- |2+x|/(2+x)
Límite de la función x+(1+x)*|x|*sin(1/x)/x
Solución
Ha introducido
[src]
/ /1\\
| (1 + x)*|x|*sin|-||
| \x/|
lim |x + ------------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)$$
Limit(x + (((1 + x)*|x|)*sin(1/x))/x, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x^{2}}\right)$$
=
$$\left\langle -1, 1\right\rangle$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} + x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} + \left(x + 1\right) \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{2} + x \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 x + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)} + \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right| + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{re}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{re}{\left(x\right)}}{x} + \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)} \operatorname{im}{\left(x\right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{im}{\left(x\right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x} - \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)} \left|{x}\right|}{x^{2}}\right)$$
=
$$\left\langle -1, 1\right\rangle$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /1\\
| (1 + x)*|x|*sin|-||
| \x/|
lim |x + ------------------|
x->0+\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)$$
<-1, 1>
$$\left\langle -1, 1\right\rangle$$
= 0.000716281530107295
/ /1\\
| (1 + x)*|x|*sin|-||
| \x/|
lim |x + ------------------|
x->0-\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right)$$
<-1, 1>
$$\left\langle -1, 1\right\rangle$$
= -0.000696493158409868
= -0.000696493158409868
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = \left\langle -1, 1\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{\left(x + 1\right) \left|{x}\right| \sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo