Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3 x + 1}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{1 - 3 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\left(3 x + 1\right) \left(\sqrt{1 - 3 x} - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\left(3 x + 1\right) \left(\sqrt{1 - 3 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt{1 - 3 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \sqrt{1 - 3 x} \left(- \frac{2 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{3 x + 1} + \frac{\cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3 x + 1} - \frac{3 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{\left(3 x + 1\right)^{2}}\right)}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{9 x^{2} + 6 x + 1} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{3 \left(3 x + 1\right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3 \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{9 x^{2} + 6 x + 1} + \frac{4 \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)}}{3 \left(3 x + 1\right)} - \frac{2 \cos{\left(x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{3 \left(3 x + 1\right)}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)