Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (-2+sqrt(-3+x))/(-3+sqrt(2+x))
-
Límite de (sqrt(10+x)-sqrt(4-x))/(-21-x+2*x^2)
-
Límite de ((3+7*x)/(-1+7*x))^(2*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos /(- dos +e^(-x^ dos)+cos(x))
- x al cuadrado dividir por ( menos 2 más e en el grado ( menos x al cuadrado ) más coseno de (x))
- x en el grado dos dividir por ( menos dos más e en el grado ( menos x en el grado dos) más coseno de (x))
- x2/(-2+e(-x2)+cos(x))
- x2/-2+e-x2+cosx
- x²/(-2+e^(-x²)+cos(x))
- x en el grado 2/(-2+e en el grado (-x en el grado 2)+cos(x))
- x^2/-2+e^-x^2+cosx
- x^2 dividir por (-2+e^(-x^2)+cos(x))
-
Expresiones semejantes
- x^2/(-2-e^(-x^2)+cos(x))
- x^2/(-2+e^(x^2)+cos(x))
- x^2/(2+e^(-x^2)+cos(x))
- x^2/(-2+e^(-x^2)-cos(x))
- x^2/(-2+e^(-x^2)+cosx)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(2*x)*log(e)/x^2
- cos(3*x/5+3*pi/10)/(1-2*cos(x))
- cos(3*x)^(4/x)
- cos(x/4)^2/(1-cos(x))
- cos(pi*n/3)/n
Límite de la función x^2/(-2+e^(-x^2)+cos(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------------------|
x->0+| 2 |
| -x |
\-2 + E + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
Limit(x^2/(-2 + E^(-x^2) + cos(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} e^{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}}{2 x e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 x e^{x^{2}} - e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 x e^{x^{2}} - e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{4} e^{x^{2}} + 10 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 x^{2} e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 8 x^{2} e^{x^{2}} - 4 x e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)} + e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 e^{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{4} e^{x^{2}} + 10 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 x^{2} e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 8 x^{2} e^{x^{2}} - 4 x e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)} + e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 e^{x^{2}}}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{2} e^{x^{2}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2} e^{x^{2}}}{\frac{d}{d x} \left(e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 2 e^{x^{2}} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}}{2 x e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 x e^{x^{2}} - e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x^{3} e^{x^{2}} + 2 x e^{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(2 x e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 x e^{x^{2}} - e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{4} e^{x^{2}} + 10 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 x^{2} e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 8 x^{2} e^{x^{2}} - 4 x e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)} + e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 e^{x^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{4} e^{x^{2}} + 10 x^{2} e^{x^{2}} + 2 e^{x^{2}}}{4 x^{2} e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 8 x^{2} e^{x^{2}} - 4 x e^{x^{2}} \sin{\left(x \right)} + e^{x^{2}} \cos{\left(x \right)} - 4 e^{x^{2}}}\right)$$
=
$$- \frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x |
lim |------------------|
x->0+| 2 |
| -x |
\-2 + E + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
/ 2 \
| x |
lim |------------------|
x->0-| 2 |
| -x |
\-2 + E + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right)$$
-2/3
$$- \frac{2}{3}$$
= -0.666666666666667
= -0.666666666666667
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{e}{- 2 e + 1 + e \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{e}{- 2 e + 1 + e \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{2}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{e}{- 2 e + 1 + e \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = \frac{e}{- 2 e + 1 + e \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(-2 + e^{- x^{2}}\right) + \cos{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo