Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \cot{\left(2 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+} \tan{\left(4 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\cot{\left(2 x \right)}}{\tan{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \cot{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \tan{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2}{4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}^+}\left(\frac{- 2 \cot^{2}{\left(2 x \right)} - 2}{4 \tan^{2}{\left(4 x \right)} + 4}\right)$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)