Sr Examen

Otras calculadoras:

cot(x/8)^2*tan(5*x/4)^2
Límite de la función/ 5*x/4/ cot(x/8)^2*tan(5*x/4)^2

Límite de la función cot(x/8)^2*tan(5*x/4)^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   2/x\    2/5*x\\
 lim |cot |-|*tan |---||
x->0+\    \8/     \ 4 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$ 
Limit(cot(x/8)^2*tan((5*x)/4)^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{5 \tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)}}{2} + \frac{5}{2}\right) \tan{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{3}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{\frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{4} + \frac{1}{4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \tan{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{3}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \tan{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{3}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{2 \left(\frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}}{4} + \frac{1}{4}\right)}\right)$$
=
$$100$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right) = 100$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right) = 100$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right) = \frac{\tan^{2}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{8} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right) = \frac{\tan^{2}{\left(\frac{5}{4} \right)}}{\tan^{2}{\left(\frac{1}{8} \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
100
$$100$$
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   2/x\    2/5*x\\
 lim |cot |-|*tan |---||
x->0+\    \8/     \ 4 //
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$ 
100
$$100$$ 
= 100.0
     /   2/x\    2/5*x\\
 lim |cot |-|*tan |---||
x->0-\    \8/     \ 4 //
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\tan^{2}{\left(\frac{5 x}{4} \right)} \cot^{2}{\left(\frac{x}{8} \right)}\right)$$ 
100
$$100$$ 
= 100.0
= 100.0
Respuesta numérica [src] 
100.0
100.0
Gráfico
Límite de la función cot(x/8)^2*tan(5*x/4)^2
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