Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{x^{2} + x + 9} - 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + \left(x + 9\right)} - \frac{3}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \sqrt{x^{2} + x + 9} - 3}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x \sqrt{x^{2} + x + 9} - 3\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 9}} + \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + x + 9}} + \sqrt{x^{2} + x + 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} + x + 9}} + \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + x + 9}} + \sqrt{x^{2} + x + 9}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)