Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{2 - \sin{\left(x \right)}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(3 x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{2 - \sin{\left(x \right)}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 2}}{\tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{2 - \sin{\left(x \right)}} + \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 2}\right)}{\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{2 - \sin{\left(x \right)}}}}{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\sin{\left(x \right)} + 2}} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{2 \sqrt{2 - \sin{\left(x \right)}}}}{3 \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{2}}{6}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)