Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2*x/(1+2*x))^x
-
Límite de (5+x)/(-6+3*x)
-
Límite de (1-sqrt(1-x^2))/x^2
-
Límite de (-2+x^3-3*x)/(-2+x)
-
Expresiones idénticas
- x*sqrt(uno -cos(dos /x))
- x multiplicar por raíz cuadrada de (1 menos coseno de (2 dividir por x))
- x multiplicar por raíz cuadrada de (uno menos coseno de (dos dividir por x))
- x*√(1-cos(2/x))
- xsqrt(1-cos(2/x))
- xsqrt1-cos2/x
- x*sqrt(1-cos(2 dividir por x))
-
Expresiones semejantes
- x*sqrt(1+cos(2/x))
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(x)/(100+x)
- sqrt(4+n)-sqrt(-1+n)
- sqrt(7)*(sqrt(7-x)-sqrt(7+x))/(7*x)
- sqrt(2+n)/sqrt(n)
- sqrt(1-cos(x^2))/(1-cos(x))
- Coseno cos
- cos(sqrt(x))/x
- cos(x)/(1-sin(x))
- cos(4*x)*cot(5*x)*tan(3*x)/(cos(7*x)*cot(7*x)*sin(6*x))
- cos(x)/(1+x)
- cos(sqrt(x))
Límite de la función x*sqrt(1-cos(2/x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________\
| / /2\ |
lim |x* / 1 - cos|-| |
x->oo\ \/ \x/ /
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
Limit(x*sqrt(1 - cos(2/x)), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{3 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{3 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} \left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\left(1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}\right)^{\frac{3}{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{3 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{2 x}{\sin{\left(\frac{2}{x} \right)}} + \frac{2 \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) \left(x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos^{2}{\left(\frac{2}{x} \right)} - 2 x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}} \cos{\left(\frac{2}{x} \right)} + x^{2} \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)}{3 \sin{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \sqrt{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \sqrt{1 - \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \sqrt{1 - \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \sqrt{1 - \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = \sqrt{1 - \cos{\left(2 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{1 - \cos{\left(\frac{2}{x} \right)}}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con x→-oo