Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sin{\left(2 x \right)} - \tan{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{3} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)} - \tan{\left(2 x \right)}}{x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(2 x \right)} - \tan{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cos{\left(2 x \right)} - 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} - 2}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 \cos{\left(2 x \right)} - 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} - 2\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 8 \tan^{3}{\left(2 x \right)} - 8 \tan{\left(2 x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 \sin{\left(2 x \right)} - 8 \tan^{3}{\left(2 x \right)} - 8 \tan{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{3} - 8 \tan^{4}{\left(2 x \right)} - \frac{32 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{8}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{4 \cos{\left(2 x \right)}}{3} - 8 \tan^{4}{\left(2 x \right)} - \frac{32 \tan^{2}{\left(2 x \right)}}{3} - \frac{8}{3}\right)$$
=
$$-4$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)