Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (1-7/x)^x
-
Límite de (1-cos(x)*cos(2*x)*cos(3*x))/(1-cos(x))
-
Límite de ((3+x)/x)^(-5*x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(uno +x^ dos -x)-sqrt(cinco +x^ dos)
- raíz cuadrada de (1 más x al cuadrado menos x) menos raíz cuadrada de (5 más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (uno más x en el grado dos menos x) menos raíz cuadrada de (cinco más x en el grado dos)
- √(1+x^2-x)-√(5+x^2)
- sqrt(1+x2-x)-sqrt(5+x2)
- sqrt1+x2-x-sqrt5+x2
- sqrt(1+x²-x)-sqrt(5+x²)
- sqrt(1+x en el grado 2-x)-sqrt(5+x en el grado 2)
- sqrt1+x^2-x-sqrt5+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(1-x^2-x)-sqrt(5+x^2)
- sqrt(1+x^2+x)-sqrt(5+x^2)
- sqrt(1+x^2-x)-sqrt(5-x^2)
- sqrt(1+x^2-x)+sqrt(5+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((2+x)*(3+x))-x
- sqrt(-1-2*x+4*x^2)-sqrt(-8-3*x+4*x^2)
- sqrt(-9+x^2)-sqrt(-3+x^2+5*x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(1+x^2-x)-x
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt((2+x)*(3+x))-x
- sqrt(-1-2*x+4*x^2)-sqrt(-8-3*x+4*x^2)
- sqrt(-9+x^2)-sqrt(-3+x^2+5*x)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(x+x^2)
- sqrt(1+x^2-x)-x
Límite de la función sqrt(1+x^2-x)-sqrt(5+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ____________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 1 + x - x - \/ 5 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right)$$
Limit(sqrt(1 + x^2 - x) - sqrt(5 + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 5}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right)\right) + \left(- x^{2} - 5\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 4}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 5}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 4 u - 1}{\sqrt{5 u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 - 0}{\sqrt{5 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) \left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + 5}\right)^{2}}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(x^{2} + 1\right)\right) + \left(- x^{2} - 5\right)}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x - 4}{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} + \sqrt{x^{2} + 5}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 5}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{- x + \left(x^{2} + 1\right)}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 5}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{5}{x^{2}}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 4 u - 1}{\sqrt{5 u^{2} + 1} + \sqrt{u^{2} - u + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 - 0}{\sqrt{5 \cdot 0^{2} + 1} + \sqrt{0^{2} - 0 + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{5}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = 1 - \sqrt{6}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{- x + \left(x^{2} + 1\right)} - \sqrt{x^{2} + 5}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico