Sr Examen

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tan(2*x)/(2*x)
Límite de la función/ tan(2*x)/ tan(2*x)/(2*x)

Límite de la función tan(2*x)/(2*x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0+\  2*x   /
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) 
Limit(tan(2*x)/((2*x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
cambiamos
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)=lim⁡x→0+(12xsin⁡(2x)cos⁡(2x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{2 x} \sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(12xsin⁡(2x))lim⁡x→0+1cos⁡(2x)=lim⁡x→0+(12xsin⁡(2x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right) \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1}{2 x} \sin{\left(2 x \right)}\right)
Sustituimos
u=2xu = 2 x
entonces
lim⁡x→0+(sin⁡(2x)2x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 1
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+tan⁡(2x)=0\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(2 x \right)} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(2x)=0\lim_{x \to 0^+}\left(2 x\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxtan⁡(2x)ddx2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(tan⁡2(2x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)
=
lim⁡x→0+(tan⁡2(2x)+1)\lim_{x \to 0^+}\left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right)
=
11
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1010
Construir el gráfico
Respuesta rápida [src] 
1
11
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0+\  2*x   /
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) 
1
11 
= 1.0
     /tan(2*x)\
 lim |--------|
x->0-\  2*x   /
lim⁡x→0−(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) 
1
11 
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(tan⁡(2x)2x)=1\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 1
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(tan⁡(2x)2x)=1\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = 1
lim⁡x→∞(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(tan⁡(2x)2x)=tan⁡(2)2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{2}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(tan⁡(2x)2x)=tan⁡(2)2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right) = \frac{\tan{\left(2 \right)}}{2}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(tan⁡(2x)2x)\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
1.0
1.0
Gráfico
Límite de la función tan(2*x)/(2*x)
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