Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \log{\left(x \right)} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x \right)} + \log{\left(\tan{\left(x \right)} \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(x \right)} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\tan{\left(x \right)} + \frac{1}{\tan{\left(x \right)}} - \frac{1}{x}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{2}}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)