Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{2} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}} = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{2} \cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{3} \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{2}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{3}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{3} \cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}{4 \pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x^{2} \left(- \frac{3 x^{2}}{\pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}} - \frac{2 x \cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}{\sin^{2}{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right) \log{\left(\cos{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)} \right)}^{3}}{4 \pi \sin{\left(\frac{2 \pi}{x} \right)}}\right)$$
=
$$- 2 \pi^{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)