Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+3*x^3+5*x+5*x^2)/(-1+x^2)
-
Límite de (-10+3*x^3+5*x^2)/(1+x^2+7*x^3)
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-14+x^2+5*x)
-
Límite de ((7-6*x+3*x^2)/(-1+3*x^2+20*x))^(1-x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(cuatro +x^ dos)-sqrt(x+x^ dos)
- raíz cuadrada de (4 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de (x más x al cuadrado )
- raíz cuadrada de (cuatro más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de (x más x en el grado dos)
- √(4+x^2)-√(x+x^2)
- sqrt(4+x2)-sqrt(x+x2)
- sqrt4+x2-sqrtx+x2
- sqrt(4+x²)-sqrt(x+x²)
- sqrt(4+x en el grado 2)-sqrt(x+x en el grado 2)
- sqrt4+x^2-sqrtx+x^2
-
Expresiones semejantes
- sqrt(4+x^2)-sqrt(x-x^2)
- sqrt(4+x^2)+sqrt(x+x^2)
- sqrt(4-x^2)-sqrt(x+x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^4+2*x^3)-2*x^2/(-1+x)
- sqrt(x)/25
- sqrt((4+x)*(7+x))-x
- sqrt((6+x^2)/sqrt(2+x^2))
- sqrt(-3+12*x)/(2/3+x)
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-1+x^4+2*x^3)-2*x^2/(-1+x)
- sqrt(x)/25
- sqrt((4+x)*(7+x))-x
- sqrt((6+x^2)/sqrt(2+x^2))
- sqrt(-3+12*x)/(2/3+x)
Límite de la función sqrt(4+x^2)-sqrt(x+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ ________\
| / 2 / 2 |
lim \\/ 4 + x - \/ x + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Limit(sqrt(4 + x^2) - sqrt(x + x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + 4\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - x}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u - 1}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{4 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + 0 \cdot 4}{\sqrt{1} + \sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) \left(\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{x^{2} + 4}\right)^{2} - \left(\sqrt{x^{2} + x}\right)^{2}}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - x\right) + \left(x^{2} + 4\right)}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 - x}{\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{x^{2} + x}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^{2} + 4}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + x}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2} + 4}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + x}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{-1 + \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{4 u - 1}{\sqrt{u + 1} + \sqrt{4 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + 0 \cdot 4}{\sqrt{1} + \sqrt{4 \cdot 0^{2} + 1}} = - \frac{1}{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = 2$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = - \sqrt{2} + \sqrt{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo