Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x + 4} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x^{2} + x + 3\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{3 x + 4}}{2 x^{2} + \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{3 x + 4}}{\frac{d}{d x} \left(2 x^{2} + x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 4} \left(4 x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3}{2 \sqrt{3 x + 4} \left(4 x + 1\right)}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)