Sr Examen

Otras calculadoras:

(cos(x)^2-cos(2*x)^2)/x^2
Límite de la función/ cos(x)/ cos(2*x)/ (cos(x)^2-cos(2*x)^2)/x^2

Límite de la función (cos(x)^2-cos(2*x)^2)/x^2

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   2         2     \
     |cos (x) - cos (2*x)|
 lim |-------------------|
x->0+|          2        |
     \         x         /
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) 
Limit((cos(x)^2 - cos(2*x)^2)/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x))ddxx2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2sin⁡(x)cos⁡(x)+4sin⁡(2x)cos⁡(2x)2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−2sin⁡(x)cos⁡(x)+4sin⁡(2x)cos⁡(2x))ddx2x)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 4 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡2(x)−4sin⁡2(2x)−cos⁡2(x)+4cos⁡2(2x))\lim_{x \to 0^+}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)
=
lim⁡x→0+(sin⁡2(x)−4sin⁡2(2x)−cos⁡2(x)+4cos⁡2(2x))\lim_{x \to 0^+}\left(\sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)} + 4 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right)
=
33
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-10105-5
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
3
33
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /   2         2     \
     |cos (x) - cos (2*x)|
 lim |-------------------|
x->0+|          2        |
     \         x         /
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) 
3
33 
= 3.0
     /   2         2     \
     |cos (x) - cos (2*x)|
 lim |-------------------|
x->0-|          2        |
     \         x         /
lim⁡x→0−(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) 
3
33 
= 3.0
= 3.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=3\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 3
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=3\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 3
lim⁡x→∞(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=−cos⁡2(2)+cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{2}{\left(2 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=−cos⁡2(2)+cos⁡2(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = - \cos^{2}{\left(2 \right)} + \cos^{2}{\left(1 \right)}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(cos⁡2(x)−cos⁡2(2x)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
3.0
3.0
Gráfico
Límite de la función (cos(x)^2-cos(2*x)^2)/x^2
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