Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos /(x^ dos -sqrt(dos)))^(x^ dos)
- (x al cuadrado dividir por (x al cuadrado menos raíz cuadrada de (2))) en el grado (x al cuadrado )
- (x en el grado dos dividir por (x en el grado dos menos raíz cuadrada de (dos))) en el grado (x en el grado dos)
- (x^2/(x^2-√(2)))^(x^2)
- (x2/(x2-sqrt(2)))(x2)
- x2/x2-sqrt2x2
- (x²/(x²-sqrt(2)))^(x²)
- (x en el grado 2/(x en el grado 2-sqrt(2))) en el grado (x en el grado 2)
- x^2/x^2-sqrt2^x^2
- (x^2 dividir por (x^2-sqrt(2)))^(x^2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2/(x^2+sqrt(2)))^(x^2)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función (x^2/(x^2-sqrt(2)))^(x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
\x /
/ 2 \
| x |
lim |----------|
x->oo| 2 ___|
\x - \/ 2 /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
Limit((x^2/(x^2 - sqrt(2)))^(x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - \sqrt{2}\right) + \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right)}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}} = e^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = e^{\sqrt{2}}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{2} - \sqrt{2}\right) + \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2} - \sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{2} - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right)}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}} = e^{\frac{\sqrt{2} \left(u + 1\right) - \sqrt{2}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = e^{\sqrt{2}}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = e^{\sqrt{2}}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = - \frac{1}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = - \frac{1}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = e^{\sqrt{2}}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = - \frac{1}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = - \frac{1}{-1 + \sqrt{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - \sqrt{2}}\right)^{x^{2}} = e^{\sqrt{2}}$$
Más detalles con x→-oo