Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2-7*x+3*x^2)/(2-5*x+2*x^2)
-
Límite de (2-sqrt(x))/(3-sqrt(1+2*x))
-
Límite de ((1+tan(x))/(1+sin(x)))^(1/sin(x))
-
Límite de (1+x)*(-1+x^3-2*x)/(-5+x^4+4*x^2)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(dos +x^ dos)-sqrt(- uno +x)
- raíz cuadrada de (2 más x al cuadrado ) menos raíz cuadrada de ( menos 1 más x)
- raíz cuadrada de (dos más x en el grado dos) menos raíz cuadrada de ( menos uno más x)
- √(2+x^2)-√(-1+x)
- sqrt(2+x2)-sqrt(-1+x)
- sqrt2+x2-sqrt-1+x
- sqrt(2+x²)-sqrt(-1+x)
- sqrt(2+x en el grado 2)-sqrt(-1+x)
- sqrt2+x^2-sqrt-1+x
-
Expresiones semejantes
- sqrt(2+x^2)+sqrt(-1+x)
- sqrt(2+x^2)-sqrt(-1-x)
- sqrt(2-x^2)-sqrt(-1+x)
- sqrt(2+x^2)-sqrt(1+x)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-2+x^2+3*x)-sqrt(-3+x^2)
- sqrt(1+x+x^2)-sqrt(-1+x^2-x)
- sqrt(9+x^2+4*x)-sqrt(11+x^2-8*x)
- sqrt(-1+n+n^2)-sqrt(1+n^2-n)
- sqrt(n^2+3*n)-n
Límite de la función sqrt(2+x^2)-sqrt(-1+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ \
| / 2 ________|
lim \\/ 2 + x - \/ -1 + x /
x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)$$
Limit(sqrt(2 + x^2) - sqrt(-1 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x + 3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u - 1 + \frac{1}{u}}{\sqrt{- u^{2} + u} + \sqrt{2 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + \frac{1}{0} + 0 \cdot 3}{\sqrt{- 0^{2}} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)$$
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
$$\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) \left(\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{x - 1}\right)^{2} + \left(\sqrt{x^{2} + 2}\right)^{2}}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(1 - x\right) + \left(x^{2} + 2\right)}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x + 3}{\sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\frac{\sqrt{x - 1}}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{x}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{\frac{x - 1}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{x^{2} + 2}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$
Sustituimos
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1 + \frac{3}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}}}\right)$$ =
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{3 u - 1 + \frac{1}{u}}{\sqrt{- u^{2} + u} + \sqrt{2 u^{2} + 1}}\right)$$ =
= $$\frac{-1 + \frac{1}{0} + 0 \cdot 3}{\sqrt{- 0^{2}} + \sqrt{2 \cdot 0^{2} + 1}} = \infty$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \infty$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{2} - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{2} - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{2} - i$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{2} - i$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \sqrt{3}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{x - 1} + \sqrt{x^{2} + 2}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo