Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\cot^{2}{\left(2 x \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \cot^{2}{\left(2 x \right)} \sin{\left(2 x \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x \sin{\left(2 x \right)} \cot^{2}{\left(2 x \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x \sin{\left(2 x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\cot^{2}{\left(2 x \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \cos{\left(2 x \right)} \cot^{3}{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} \cot^{3}{\left(2 x \right)}}{4 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x \cos{\left(2 x \right)} \cot^{3}{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)} \cot^{3}{\left(2 x \right)}}{4 \cot^{2}{\left(2 x \right)} + 4}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)