Sr Examen

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Límite de la función/ sqrt(x)/ 4-x^2/ sqrt(2)/ (sqrt(2)-sqrt(x))/(4-x^2)

Límite de la función (sqrt(2)-sqrt(x))/(4-x^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /  ___     ___\
     |\/ 2  - \/ x |
 lim |-------------|
x->2+|         2   |
     \    4 - x    /
lim⁡x→2+(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) 
Limit((sqrt(2) - sqrt(x))/(4 - x^2), x, 2)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→2+(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right)
Multiplicamos numerador y denominador por
−x−2- \sqrt{x} - \sqrt{2}
obtendremos
−x+24−x2(−x−2)−x−2\frac{\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}} \left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right)}{- \sqrt{x} - \sqrt{2}}
=
−1(−x−2)(x+2)- \frac{1}{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)}
=
−1(−x−2)(x+2)- \frac{1}{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)}
Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→2+(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right)
=
lim⁡x→2+(−1(−x−2)(x+2))\lim_{x \to 2^+}\left(- \frac{1}{\left(- \sqrt{x} - \sqrt{2}\right) \left(x + 2\right)}\right)
=
216\frac{\sqrt{2}}{16}
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→2+(−x+2)=0\lim_{x \to 2^+}\left(- \sqrt{x} + \sqrt{2}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→2+(4−x2)=0\lim_{x \to 2^+}\left(4 - x^{2}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→2+(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right)
=
lim⁡x→2+(ddx(−x+2)ddx(4−x2))\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x} + \sqrt{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(4 - x^{2}\right)}\right)
=
lim⁡x→2+(14x32)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}\right)
=
lim⁡x→2+(216)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{16}\right)
=
lim⁡x→2+(216)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\sqrt{2}}{16}\right)
=
216\frac{\sqrt{2}}{16}
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-4.0-3.0-2.0-1.04.00.01.02.03.00.000.50
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
  ___
\/ 2 
-----
  16
216\frac{\sqrt{2}}{16}
Abrir y simplificar
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /  ___     ___\
     |\/ 2  - \/ x |
 lim |-------------|
x->2+|         2   |
     \    4 - x    /
lim⁡x→2+(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) 
  ___
\/ 2 
-----
  16
216\frac{\sqrt{2}}{16} 
= 0.0883883476483184
     /  ___     ___\
     |\/ 2  - \/ x |
 lim |-------------|
x->2-|         2   |
     \    4 - x    /
lim⁡x→2−(−x+24−x2)\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) 
  ___
\/ 2 
-----
  16
216\frac{\sqrt{2}}{16} 
= 0.0883883476483184
= 0.0883883476483184
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→2−(−x+24−x2)=216\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{16}
Más detalles con x→2 a la izquierda
lim⁡x→2+(−x+24−x2)=216\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{16}
lim⁡x→∞(−x+24−x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(−x+24−x2)=24\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−x+24−x2)=24\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = \frac{\sqrt{2}}{4}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−x+24−x2)=−13+23\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−x+24−x2)=−13+23\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−x+24−x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \sqrt{x} + \sqrt{2}}{4 - x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.0883883476483184
0.0883883476483184
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