Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 \sqrt{x} + x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 - 4 x^{2}\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \sqrt{x} + x^{2}}{3 - 4 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(5 \sqrt{x} + x^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 - 4 x^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x + \frac{5}{2 \sqrt{x}}}{8 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(2 x + \frac{5}{2 \sqrt{x}}\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 8 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{4} + \frac{5}{32 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{1}{4} + \frac{5}{32 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$- \frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)