Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-10-x+3*x^2)/(-10-x^2+7*x)
-
Límite de (-1+sqrt(1+x))/x
-
Límite de sin(2*x)/sin(3*x)
-
Límite de sin(5*x)/(2*x)
-
Expresiones idénticas
- log(uno +x)/(-exp(-x)+exp(x))
- logaritmo de (1 más x) dividir por ( menos exponente de ( menos x) más exponente de (x))
- logaritmo de (uno más x) dividir por ( menos exponente de ( menos x) más exponente de (x))
- log1+x/-exp-x+expx
- log(1+x) dividir por (-exp(-x)+exp(x))
-
Expresiones semejantes
- log(1-x)/(-exp(-x)+exp(x))
- log(1+x)/(-exp(x)+exp(x))
- log(1+x)/(exp(-x)+exp(x))
- log(1+x)/(-exp(-x)-exp(x))
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(1+x)/log(x)
- log(1+sin(x))/sin(4*x)
- log(tan(x))/cos(2*x)
- log(x)/(1-x^3)
- log(cos(2*x))/x^2
- Exponente exp
- exp(x)
- exp(-x^2)
- exp(2)*exp(2*x)/(2*x+2*x^2)
- exp(3*n/(3+n))
- exp(x)*log(cos(x))
- Exponente exp
- exp(x)
- exp(-x^2)
- exp(2)*exp(2*x)/(2*x+2*x^2)
- exp(3*n/(3+n))
- exp(x)*log(cos(x))
Límite de la función log(1+x)/(-exp(-x)+exp(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/log(1 + x)\
lim |----------|
x->0+| -x x|
\- e + e /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
Limit(log(1 + x)/(-exp(-x) + exp(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{e^{2 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{e^{x}}{x + 1}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{2 x} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{e^{2 x} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(e^{2 x} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{x} \log{\left(x + 1 \right)} + \frac{e^{x}}{x + 1}\right) e^{- 2 x}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{x} \log{\left(x + 1 \right)}}{2} + \frac{e^{x}}{2 \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/log(1 + x)\
lim |----------|
x->0+| -x x|
\- e + e /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
/log(1 + x)\
lim |----------|
x->0-| -x x|
\- e + e /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right)$$
1/2
$$\frac{1}{2}$$
= 0.5
= 0.5
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = \frac{e \log{\left(2 \right)}}{-1 + e^{2}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{e^{x} - e^{- x}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo