Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((-3+x)/x)^(x/2)
-
Límite de (-1+4*x+5*x^2)/(-2+x+3*x^2)
-
Límite de (-1+x-2*x^2+2*x^3)/(-3+x^3-x^2+3*x)
-
Límite de (1+4/x)^(1+x)
-
Expresiones idénticas
- sqrt(n)*acos(uno - uno /n)
- raíz cuadrada de (n) multiplicar por arco coseno de eno de (1 menos 1 dividir por n)
- raíz cuadrada de (n) multiplicar por arco coseno de eno de (uno menos uno dividir por n)
- √(n)*acos(1-1/n)
- sqrt(n)acos(1-1/n)
- sqrtnacos1-1/n
- sqrt(n)*acos(1-1 dividir por n)
-
Expresiones semejantes
- sqrt(n)*acos(1+1/n)
- sqrt(n)*arccos(1-1/n)
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(1+(1+n)^2)*(1+n)/(n*sqrt(1+n^2))
- sqrt(2+x)/x
- sqrt(1+x^2-x)-x
- sqrt(x^2+3*x)-sqrt(1+x^2)
- sqrt(-2+x^2)-x
- Arcocoseno arccos
- acos(x)^2/(1-x)
- acos((1-x^2)/(1+x^2))+asin(2*x/(1+x^2))
- acos(x)/sqrt(1-x^2)
Límite de la función sqrt(n)*acos(1-1/n)
Solución
Ha introducido
[src]
/ ___ / 1\\ lim |\/ n *acos|1 - -|| n->oo\ \ n//
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right)$$
Limit(sqrt(n)*acos(1 - 1/n), n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}} \operatorname{acos}^{2}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}} \operatorname{acos}^{2}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \sqrt{n}}{\frac{d}{d n} \frac{1}{\operatorname{acos}{\left(\frac{n - 1}{n} \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}} \operatorname{acos}^{2}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^{\frac{3}{2}} \sqrt{\frac{2}{n} - \frac{1}{n^{2}}} \operatorname{acos}^{2}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}}{2}\right)$$
=
$$\sqrt{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = \sqrt{2}$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = 0$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = \frac{\pi}{2}$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\sqrt{n} \operatorname{acos}{\left(1 - \frac{1}{n} \right)}\right) = - \sqrt{2}$$
Más detalles con n→-oo