Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{e^{2 x}}{e^{2}} - \frac{2 e^{x}}{e} + 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(e^{x - 1} - 1\right)^{2}}{x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{e^{2 x}}{e^{2}} - \frac{2 e^{x}}{e} + 1\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{e^{2}} - \frac{2 e^{x}}{e}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 e^{2 x}}{e^{2}} - \frac{2 e^{x}}{e}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)