$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha$$\lim_{x \to 1^-}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda$$\lim_{x \to 1^+}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = \operatorname{atan}{\left(\pi \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- \pi \operatorname{im}{\left(x\right)}} \left|{\sqrt{x} \operatorname{atan}{\left(\frac{\pi}{x} \right)}}\right|\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo