Sr Examen

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(1-cos(x))/(3*x^2)
Límite de la función/ 3*x^2/ cos(x)/ (1-cos(x))/(3*x^2)

Límite de la función (1-cos(x))/(3*x^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->oo|      2   |
     \   3*x    /
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) 
Limit((1 - cos(x))/((3*x^2)), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

cambiamos
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)=lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right)
=
2(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))23\frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3}
lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x)=lim⁡u→0+(sin⁡(u)2u)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{2 u}\right)
=
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
2(lim⁡x→0+(sin⁡(x2)x))23=2(lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)2)23\frac{2 \left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right)\right)^{2}}{3} = \frac{2 \left(\frac{\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)}{2}\right)^{2}}{3}
=
23⋅4\frac{2}{3 \cdot 4}
=
16\frac{1}{6}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)=16\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.00.2
Construir el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0+|      2   |
     \   3*x    /
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) 
1/6
16\frac{1}{6} 
= 0.166666666666667
     /1 - cos(x)\
 lim |----------|
x->0-|      2   |
     \   3*x    /
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)3x2)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) 
1/6
16\frac{1}{6} 
= 0.166666666666667
= 0.166666666666667
Respuesta rápida [src] 
0
00
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(1−cos⁡(x)3x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = 0
lim⁡x→0−(1−cos⁡(x)3x2)=16\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(1−cos⁡(x)3x2)=16\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{6}
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(1−cos⁡(x)3x2)=13−cos⁡(1)3\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(1−cos⁡(x)3x2)=13−cos⁡(1)3\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = \frac{1}{3} - \frac{\cos{\left(1 \right)}}{3}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(1−cos⁡(x)3x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(x \right)}}{3 x^{2}}\right) = 0
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
0.166666666666667
0.166666666666667
Gráfico
Límite de la función (1-cos(x))/(3*x^2)
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