Sr Examen

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(x-tan(x))/(x-sin(x))
Límite de la función/ sin(x)/ tan(x)/ (x-tan(x))/(x-sin(x))

Límite de la función (x-tan(x))/(x-sin(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /x - tan(x)\
 lim |----------|
x->0+\x - sin(x)/
lim⁡x→0+(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) 
Limit((x - tan(x))/(x - sin(x)), x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+(x−tan⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(x−sin⁡(x))=0\lim_{x \to 0^+}\left(x - \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(x−tan⁡(x))ddx(x−sin⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(x - \sin{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−tan⁡2(x)1−cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{1 - \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−tan⁡2(x))ddx(1−cos⁡(x)))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \tan^{2}{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−(2tan⁡2(x)+2)tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{\left(2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−2tan⁡(x))ddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2tan⁡2(x)−2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 \tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2tan⁡2(x)−2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 2 \tan^{2}{\left(x \right)} - 2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
−2-2
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5050
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /x - tan(x)\
 lim |----------|
x->0+\x - sin(x)/
lim⁡x→0+(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) 
-2
−2-2 
= -2.0
     /x - tan(x)\
 lim |----------|
x->0-\x - sin(x)/
lim⁡x→0−(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) 
-2
−2-2 
= -2.0
= -2.0
Respuesta rápida [src] 
-2
−2-2
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))=−2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = -2
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))=−2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = -2
lim⁡x→∞(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))=−1+tan⁡(1)−1+sin⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))=−1+tan⁡(1)−1+sin⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right) = \frac{-1 + \tan{\left(1 \right)}}{-1 + \sin{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x−tan⁡(x)x−sin⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \tan{\left(x \right)}}{x - \sin{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
-2.0
-2.0
Gráfico
Límite de la función (x-tan(x))/(x-sin(x))
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