Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\pi}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{x}{\pi}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\pi^{2} \left(\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1\right)}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi^{2} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}}{\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\pi^{2} \tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)}}{2} + \frac{\pi^{2}}{2}}{\tan^{2}{\left(\frac{\pi x}{2} \right)} + 1}\right)$$
=
$$\frac{\pi^{2}}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)