Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}{11}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - x\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{11 - 11 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}{11 \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\sqrt{x \left(x + 2\right)}}{11}}{\frac{d}{d x} \left(1 - x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{- \frac{11 x^{2}}{x + 1} - \frac{22 x}{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} + 2 x}}{- \frac{11 x^{2}}{x + 1} - \frac{22 x}{x + 1}}\right)$$
=
$$\frac{1}{11}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)