Límite de la función log(x)*log(-1+x)

Tenemos la indeterminación de tipo

0/0,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\log{\left(x \right)} \log{\left(x - 1 \right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{x - 1}{x}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{\log{\left(x - 1 \right)}^{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(- \frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2}}\right) \left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{3}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\left(x - 1\right) \log{\left(x - 1 \right)}^{3}}{2}\right)}{\frac{d}{d x} \frac{1}{- \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2}}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(- \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2}}\right)^{2} \left(- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{3}}{2} - \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{2}\right)}{- \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \left(x - 1\right)}{x^{3}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(x - 1 \right)}^{3}}{4} + \frac{3 \log{\left(x - 1 \right)}^{2}}{4}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)