Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(\frac{\tan{\left(x \right)}}{x} \right)}}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}}{2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\frac{\tan^{2}{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x} - \frac{\tan{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 \tan{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{2 \tan^{3}{\left(x \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 \tan^{2}{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{2}{x^{2}} + \frac{2 \tan{\left(x \right)}}{x^{3}}}{2 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)