Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{2} + x \sqrt{x^{2} - 4} - 8\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^{2} - 4} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \frac{- x^{2} - 8}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{2} + x \sqrt{x^{2} - 4} - 8}{\sqrt{x^{2} - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x \sqrt{x^{2} - 4} - 8\right)}{\frac{d}{d x} \sqrt{x^{2} - 4}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} - 2 x + \sqrt{x^{2} - 4}\right)}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2} - 4} \left(\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2} - 4}} - 2 x + \sqrt{x^{2} - 4}\right)}{x}\right)$$
=
$$-\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)