Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\tan{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\tan{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{1 - \cos{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \tan{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)}}{\frac{d}{d x} \left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)} + 3 \tan{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \tan{\left(2 x \right)} + 2 \tan{\left(3 x \right)}}{4 \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} \tan{\left(3 x \right)} + 3 \tan{\left(2 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \tan{\left(2 x \right)} + 2 \tan{\left(3 x \right)}}{4 \sin{\left(4 x \right)}}\right)$$
=
$$\frac{3}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)