Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
-
Expresiones idénticas
- (uno +x)^ dos *log(uno +x)^ dos /x^ dos
- (1 más x) al cuadrado multiplicar por logaritmo de (1 más x) al cuadrado dividir por x al cuadrado
- (uno más x) en el grado dos multiplicar por logaritmo de (uno más x) en el grado dos dividir por x en el grado dos
- (1+x)2*log(1+x)2/x2
- 1+x2*log1+x2/x2
- (1+x)²*log(1+x)²/x²
- (1+x) en el grado 2*log(1+x) en el grado 2/x en el grado 2
- (1+x)^2log(1+x)^2/x^2
- (1+x)2log(1+x)2/x2
- 1+x2log1+x2/x2
- 1+x^2log1+x^2/x^2
- (1+x)^2*log(1+x)^2 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (1+x)^2*log(1-x)^2/x^2
- (1-x)^2*log(1+x)^2/x^2
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/log(1+x)
- log(log(x))
- log(sin(m*x))/log(sin(x))
- log(1+3*x)/x
- log(x)/(-1+x^2)
Límite de la función (1+x)^2*log(1+x)^2/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 2 \
|(1 + x) *log (1 + x)|
lim |--------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
Limit(((1 + x)^2*log(1 + x)^2)/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x + 1 \right)}^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x + 1 \right)}^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{\frac{d}{d x} \frac{x^{2}}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right) \left(\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{\frac{x^{2} \left(- 2 x - 2\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 2 x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = 4 \log{\left(2 \right)}^{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 2 \
|(1 + x) *log (1 + x)|
lim |--------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
/ 2 2 \
|(1 + x) *log (1 + x)|
lim |--------------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{2} \log{\left(x + 1 \right)}^{2}}{x^{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1
= 1