Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (3+2*n)/(5+3*n)
-
Límite de (1+4/x)^(2*x)
-
Límite de (x/(-3+x))^(-5+x)
-
Límite de x/sin(14*x)
-
Expresiones idénticas
- x^ dos /(- uno +cos(x))
- x al cuadrado dividir por ( menos 1 más coseno de (x))
- x en el grado dos dividir por ( menos uno más coseno de (x))
- x2/(-1+cos(x))
- x2/-1+cosx
- x²/(-1+cos(x))
- x en el grado 2/(-1+cos(x))
- x^2/-1+cosx
- x^2 dividir por (-1+cos(x))
-
Expresiones semejantes
- x^2/(1+cos(x))
- x^2/(-1-cos(x))
- x^2/(-1+cosx)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(sqrt((2-pi)/x))^x
- cos(3*x)*sin(x)*sin(2*x)/cot(4*x)
- cos(2*x)/2+cos(x)
- cos(-2+x)/(-2+x)
- cos(x)^(x^2/2)
Límite de la función x^2/(-1+cos(x))
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| x |
lim |-----------|
x->0+\-1 + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
Limit(x^2/(-1 + cos(x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = - \frac{\left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
=
$$- \frac{2^{2}}{2}$$
=
$$-2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)$$
=
$$2 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
$$- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = - \frac{\left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}}{2}$$
=
$$- \frac{2^{2}}{2}$$
=
$$-2$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)$$
=
$$-2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
| x |
lim |-----------|
x->0+\-1 + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2.0
/ 2 \
| x |
lim |-----------|
x->0-\-1 + cos(x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)$$
-2
$$-2$$
= -2.0
= -2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico