Sr Examen

Otras calculadoras:

x^2/(-1+cos(x))
Límite de la función/ cos(x)/ x^2/(-1+cos(x))

Límite de la función x^2/(-1+cos(x))

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /      2    \
     |     x     |
 lim |-----------|
x->0+\-1 + cos(x)/
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) 
Limit(x^2/(-1 + cos(x)), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)
Usamos la fórmula trigonométrica
sin(a)^2 = (1 - cos(2*a))/2

cambiamos
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)=lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)
=
−(lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)))22- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2}
lim⁡x→0+(xsin⁡(x2))=lim⁡u→0+(2usin⁡(u))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2 u}{\sin{\left(u \right)}}\right)
=
2lim⁡u→0+(usin⁡(u))2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)
=
2(lim⁡u→0+(sin⁡(u)u))−12 \left(\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)\right)^{-1}
El límite
lim⁡u→0+(sin⁡(u)u)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
−(lim⁡x→0+(xsin⁡(x2)))22=−(2lim⁡u→0+(usin⁡(u)))22- \frac{\left(\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\right)\right)^{2}}{2} = - \frac{\left(2 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{u}{\sin{\left(u \right)}}\right)\right)^{2}}{2}
=
−222- \frac{2^{2}}{2}
=
−2-2

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)=−2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→0+x2=0\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→0+(cos⁡(x)−1)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right)
=
lim⁡x→0+(ddxx2ddx(cos⁡(x)−1))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)}\right)
=
lim⁡x→0+(−2xsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2 x}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(ddx(−2x)ddxsin⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x\right)}{\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→0+(−2cos⁡(x))\lim_{x \to 0^+}\left(- \frac{2}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
−2-2
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
     /      2    \
     |     x     |
 lim |-----------|
x->0+\-1 + cos(x)/
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) 
-2
−2-2 
= -2.0
     /      2    \
     |     x     |
 lim |-----------|
x->0-\-1 + cos(x)/
lim⁡x→0−(x2cos⁡(x)−1)\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) 
-2
−2-2 
= -2.0
= -2.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→0−(x2cos⁡(x)−1)=−2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(x2cos⁡(x)−1)=−2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -2
lim⁡x→∞(x2cos⁡(x)−1)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
Más detalles con x→oo
lim⁡x→1−(x2cos⁡(x)−1)=1−1+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(x2cos⁡(x)−1)=1−1+cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = \frac{1}{-1 + \cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(x2cos⁡(x)−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\cos{\left(x \right)} - 1}\right) = -\infty
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
-2
−2-2
Abrir y simplificar
Respuesta numérica [src] 
-2.0
-2.0
Gráfico
Límite de la función x^2/(-1+cos(x))
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