Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 1/(1-x)-3/(1-x^3)
-
Límite de sin(3*x)/(2*x)
-
Límite de (1-2*x)^(1/x)
-
Límite de (6+x^2-5*x)/(-9+x^2)
- Derivada de:
-
x^x*exp(-x)
-
Expresiones idénticas
- x^x*exp(-x)
- x en el grado x multiplicar por exponente de ( menos x)
- xx*exp(-x)
- xx*exp-x
- x^xexp(-x)
- xxexp(-x)
- xxexp-x
- x^xexp-x
-
Expresiones semejantes
- x^x*exp(x)
-
Expresiones con funciones
- Exponente exp
- exp(x+1/x)
- exp(cos(x)*log(sin(x)))/x
- exp(x)/x^100
- exp(-1/x^2)/x^15
- exp(3-x)/(x*(3-x))
Límite de la función x^x*exp(-x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ x -x\ lim \x *e / x->oo
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} e^{- x}\right)$$
Limit(x^x*exp(-x), x, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x}}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x^{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} e^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x}}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x^{x} \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} e^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{x} \log{\left(x \right)}^{2} + 2 x^{x} \log{\left(x \right)} + x^{x} + \frac{x^{x}}{x}\right) e^{- x}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{x} e^{- x}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{x} e^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{x} e^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{x} e^{- x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{x} e^{- x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{x} e^{- x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(x^{x} e^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{x} e^{- x}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(x^{x} e^{- x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{x} e^{- x}\right) = e^{-1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{x} e^{- x}\right) = \infty$$
Más detalles con x→-oo