Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de 4-3*x+2*x^2
-
Límite de ((3+x)/(-2+x))^x
-
Límite de (-8+x^3)/(-6+x+x^2)
-
Límite de (-3+sqrt(1+2*x))/(sqrt(-2+x)-sqrt(2))
-
Expresiones idénticas
- sin(cinco *x)/sin(pi*x)
- seno de (5 multiplicar por x) dividir por seno de ( número pi multiplicar por x)
- seno de (cinco multiplicar por x) dividir por seno de ( número pi multiplicar por x)
- sin(5x)/sin(pix)
- sin5x/sinpix
- sin(5*x) dividir por sin(pi*x)
-
Expresiones con funciones
- Seno sin
- sin(8*x)/x
- sin(5*x)/(7*x)
- sin(6*x)/tan(2*x)
- sin(-2+x)/(-2+x)
- sin(9*x)*tan(6*x)/(1-cos(10*x))
- Seno sin
- sin(8*x)/x
- sin(5*x)/(7*x)
- sin(6*x)/tan(2*x)
- sin(-2+x)/(-2+x)
- sin(9*x)*tan(6*x)/(1-cos(10*x))
- Número Pi pi
- pi/cos(x)-2*x*tan(x)
- Piecewise((5-x^2,x>3),(3+x,True))
- pi*(9-x^2)/sin(pi*x)
- pi-sqrt(x)-2*sqrt(x)*atan(x)
- Piecewise((4+x^2,x>=-1),(6+2*x,True))
Límite de la función sin(5*x)/sin(pi*x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0+\sin(pi*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
Limit(sin(5*x)/sin(pi*x), x, 0)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\pi \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{\pi}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{5 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
=
$$\frac{5}{\pi}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \frac{5}{\pi}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x} \frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
Sustituimos
$$u = 5 x$$
y
$$v = \pi x$$
entonces
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{x}\right) \lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{5 \sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\pi \sin{\left(v \right)}}\right)$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \lim_{v \to 0^+}\left(\frac{v}{\sin{\left(v \right)}}\right)}{\pi}$$
=
$$\frac{5 \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right) \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
El límite
$$\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(u \right)}}{u}\right)$$
y
$$\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)$$
hay el primer límite, es igual a 1.
entonces
=
$$\frac{5 \left(\lim_{v \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{v}\right)\right)^{-1}}{\pi}$$
=
$$\frac{5}{\pi}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \frac{5}{\pi}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\pi}\right)$$
=
$$\frac{5}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(5 x \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \sin{\left(\pi x \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sin{\left(5 x \right)}}{\frac{d}{d x} \sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5 \cos{\left(5 x \right)}}{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\pi}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{5}{\pi}\right)$$
=
$$\frac{5}{\pi}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \frac{5}{\pi}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \frac{5}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \frac{5}{\pi}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right) = \infty$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0+\sin(pi*x)/
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
5 -- pi
$$\frac{5}{\pi}$$
= 1.59154943091895
/ sin(5*x)\ lim |---------| x->0-\sin(pi*x)/
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\sin{\left(5 x \right)}}{\sin{\left(\pi x \right)}}\right)$$
5 -- pi
$$\frac{5}{\pi}$$
= 1.59154943091895
= 1.59154943091895