Sr Examen

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pi/cos(x)-2*x*tan(x)
Límite de la función/ cos(x)/ tan(x)/ pi/cos(x)-2*x*tan(x)

Límite de la función pi/cos(x)-2*x*tan(x)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
      /  pi               \
 lim  |------ - 2*x*tan(x)|
   pi \cos(x)             /
x->--+                     
   2
lim⁡x→π2+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
Limit(pi/cos(x) - 2*x*tan(x), x, pi/2)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,

tal que el límite para el numerador es
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)tan⁡(x)+π)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \pi\right) = 0
y el límite para el denominador es
lim⁡x→π2+cos⁡(x)=0\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \cos{\left(x \right)} = 0
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
lim⁡x→π2+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
lim⁡x→π2+(−2xcos⁡(x)tan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{- 2 x \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(ddx(−2xcos⁡(x)tan⁡(x)+π)ddxcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 x \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + \pi\right)}{\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−−2x(tan⁡2(x)+1)cos⁡(x)+2xsin⁡(x)tan⁡(x)−2cos⁡(x)tan⁡(x)sin⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- \frac{- 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 2 x \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xsin⁡(x)tan⁡(x)+2xcos⁡(x)tan⁡2(x)+2xcos⁡(x)+2cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
=
lim⁡x→π2+(−2xsin⁡(x)tan⁡(x)+2xcos⁡(x)tan⁡2(x)+2xcos⁡(x)+2cos⁡(x)tan⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)}\right)
=
22
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
-3.0-2.5-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.52.02.53.05-5
Trazar el gráfico
A la izquierda y a la derecha [src] 
      /  pi               \
 lim  |------ - 2*x*tan(x)|
   pi \cos(x)             /
x->--+                     
   2
lim⁡x→π2+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
2
22 
= 2.0
      /  pi               \
 lim  |------ - 2*x*tan(x)|
   pi \cos(x)             /
x->---                     
   2
lim⁡x→π2−(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) 
2
22 
= 2.0
= 2.0
Respuesta rápida [src] 
2
22
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→π2−(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=2\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 2
Más detalles con x→pi/2 a la izquierda
lim⁡x→π2+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=2\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = 2
lim⁡x→∞(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→oo
lim⁡x→0−(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=π\lim_{x \to 0^-}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \pi
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=π\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = \pi
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=−−π+2cos⁡(1)tan⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^-}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \pi + 2 \cos{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))=−−π+2cos⁡(1)tan⁡(1)cos⁡(1)\lim_{x \to 1^+}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right) = - \frac{- \pi + 2 \cos{\left(1 \right)} \tan{\left(1 \right)}}{\cos{\left(1 \right)}}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−2xtan⁡(x)+πcos⁡(x))\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x \tan{\left(x \right)} + \frac{\pi}{\cos{\left(x \right)}}\right)
Más detalles con x→-oo
Respuesta numérica [src] 
2.0
2.0
Gráfico
Límite de la función pi/cos(x)-2*x*tan(x)
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