Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x^{4} - \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} \log{\left(x^{3} + 1 \right)} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{4} - \sin{\left(x \right)}\right) + \tan{\left(x \right)}}{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{4} - \sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \log{\left(x^{3} + 1 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x^{3} + 1\right) \left(4 x^{3} - \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x^{3} - \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{3} - \cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{12 x^{2} + \sin{\left(x \right)} + 2 \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}}{6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x^{2} + \sin{\left(x \right)} + 2 \tan^{3}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)}\right)}{\frac{d}{d x} 6 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x + \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(4 x + \frac{\cos{\left(x \right)}}{6} + \tan^{4}{\left(x \right)} + \frac{4 \tan^{2}{\left(x \right)}}{3} + \frac{1}{3}\right)$$
=
$$\frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)